每日一题[3336]抛物线的平均性质

已知动点 $G(x,y)$ 满足关系式 $\sqrt{x^2+(y-\sqrt 2)^2}-\sqrt{x^2+(y+\sqrt 2)^2}=2$．

1、求动点 $G$ 的轨迹方程；

2、设动点 $G$ 的轨迹为曲线 $C_1$，抛物线 $C_2: x^2=4 y$ 的焦点为 $F$，过 $C_1$ 上一点 $P$ 作 $C_2$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$，弦 $AB$ 的中点为 $M$，平行于 $AB$ 的直线 $l$ 与 $C_2$ 相切于点 $Q$．

① 证明：$P,Q,M$ 三点共线；

② 当直线 $l$ 与 $C_1$ 有两个交点时，求 $|QF|$ 的取值范围．

解析

1、题中关系式即点 $G$ 到定点 $F_1(0,\sqrt 2),F_2(0,-\sqrt 2)$ 的距离之差为 $2$，因此点 $G$ 的轨迹是以 $F_1,F_2$ 为焦点，$2$ 为实轴长的双曲线的下支，轨迹方程为 $y^2-x^2=1$（$y\leqslant -1$）．

2、① 设 $P(m,n)$，则 $AB:mx=2(y+n)$，设 $l:mx=2(y+n')$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$Q(x_0,y_0)$，由于与抛物线 $C_2$ 联立时，直线 $AB$ 和 $l$ 只相差常数项，因此根据韦达定理有 $$x_1+x_2=2x_0=2m,$$ 于是 $P,Q,M$ 三点的横坐标相同，从而三点共线 $^{[1]}$．

② 根据 ① 的结论，当 $P$ 在 $C_1$ 上运动时，$Q$ 在 $C_2$ 上运动且能遍历 $C_2$ 上的每个点．设 $Q(4t,4t^2)$，则 $|QF|=4t^2+1$，且 $l:4tx=2(y+4t^2)$，即 $x=\dfrac{1}{2t}y+2t$，与双曲线 $C_1$ 的方程联立，可得 $$\left(1-\dfrac{1}{4t^2}\right)y^2-2y-4t^2-1=0,$$ 该关于 $y$ 的二次方程在 $y\in (-\infty,-1]$ 上有两个不等实根，解得 $4t^2$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2,+\infty\right)\setminus \{1\}$，因此 $|QF|$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 5+1}2,+\infty\right)\setminus \{2\}$．

备注    $[1]$ 事实上，$Q$ 为 $PM$ 的中点．