每日一题[3335]分段解析

已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=1-a\sin x-\cos 2 x$． 若 $a=2$，

1、求 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上的极大值；

2、若函数 $g(x)=f(x)-f\left(\dfrac{\pi}2+x\right)$，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上零点的个数．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=-a\cos x+2\sin 2x=\cos x(4\sin x-a),$$ 当 $a=2$ 时，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0&\left(0,\frac{\pi}6\right)&\frac{\pi}6&\left(\frac{\pi}6,\frac{\pi}2\right)&\frac{\pi}2&\left(\frac{\pi}2,\frac{5\pi}6\right)&\frac{5\pi}6&\left(\frac{5\pi}6,\pi\right)&\pi \\ \hline f(x)&0&\searrow&-\frac 12&\nearrow&0&\searrow&-\frac 12&\nearrow&0\\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上的极大值为 $0$．

2、根据题意，有

$$\begin{split} g(x)&=f(x)-f\left(\frac{\pi}2+x\right)\\ &=(1-a\sin x-\cos(2x))-(1-a\cos x+\cos(2x))\\ &=a(-\sin x+\cos x)-2\cos(2x)\\ &=(-\sin x+\cos x)(a-2(\sin x+\cos x))\\ &=\sqrt 2\sin\left(x+\frac{3\pi}4\right)\cdot\left(a-2\sqrt 2\sin\left(x+\frac{\pi}4\right)\right),\end{split}$$ 因此 $x=\dfrac{\pi}4$ 为 $g(x)$ 的一个零点，进而所求零点个数为 $h(x)=2\sqrt 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)$，其中 $x\in[0,\pi]\setminus \left\{\dfrac{\pi}4\right\}$ 与直线 $y=a$ 的公共点个数再加上 $1$，又 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0&&\frac{\pi}4&&\pi&\text{零点个数}\\ \hline h(x)&&&2\sqrt 2&&&0\\ \hline &&\nearrow&&\searrow&&2\\ \hline &2&&&\searrow&& 2\\ \hline &&&&\searrow&&1\\ \hline &&&&&-2&1\\ \hline\end{array}$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的零点个数为 $$\begin{cases} 1,&a\in(-\infty,-2)\cup\left[2\sqrt 2,+\infty\right),\\ 2,&a\in [-2,2),\\ 3,&a\in\left[2,2\sqrt 2\right).\end{cases}$$