每日一题[3333]焦半径

已知 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1$ 的左、右焦点，$P,A,B$ 为椭圆上三个不同的点，直线 $PA$ 的方程为 $x=2$，且 $\angle APB$ 的平分线经过点 $Q(1,0)$，设 $\triangle AF_1 F_2,\triangle BF_1 F_2$ 内切圆的半径分别为 $r_1,r_2$，则 $\dfrac{r_1}{r_2}=$_____．

答案    $5$．

解析    根据题意，线段 $PA$ 是椭圆的通径，于是 $|PF_2|=|AF_2|=\sqrt 2$，进而 $|PF_1|=3\sqrt 2$，有

$$\dfrac{|PF_1|}{|PF_2|}=3=\dfrac{|QF_1|}{|QF_2|}\implies \angle F_1PQ=\angle F_2PQ,$$ 因此 $P,F_1,B$ 共线，如图．

由于 $\triangle AF_1 F_2,\triangle BF_1 F_2$ 的周长相等，因此内切圆半径的比等于面积之比

$$\dfrac{[\triangle AF_1F_2]}{[\triangle BF_1F_2]}=\dfrac{d(A,F_1F_2)}{d(B,F_1F_2)}=\dfrac{|PF_1|}{|BF_1|}=\dfrac{1+e\cos\angle PF_1F_2}{1-e\cos\angle PF_1F_2}=\dfrac{1+\dfrac {\sqrt 2}2\cdot \dfrac{4}{3\sqrt 2}}{1-\dfrac{\sqrt 2}2\cdot \dfrac{4}{3\sqrt 2}}=5.$$