每日一题[3331]三角与解析

已知平面直角坐标系点 $A(-1,0),B(1,0),P\left(x_0,y_0\right)$，且 $\triangle PAB$ 满足 $\tan\dfrac{\angle PAB}2=\dfrac{PB}{AP+AB}$．

1、判断 $(0,-1)$ 能否作为 $P$ 点的坐标；

2、证明：$\triangle PAB$ 为直角三角形；

3、记点 $P$ 的轨迹为曲线 $\Omega$，过点 $(2,1)$ 的直线 $l$ 从左到右依次交 $\Omega$ 于 $M,N,Q$ 三点， 若满足 $|MQ|\cdot|NQ|=m$ 的 $l$ 有且只有一条，求 $m$ 的取值范围．

解析

1、在 $\triangle PAB$ 中应用正弦定理，有 $$\tan\dfrac{\angle PAB}2=\dfrac{PB}{AP+AB}\implies \dfrac{\sin A}{1+\cos A}=\dfrac{\sin A}{\sin B+\sin P},$$ 即 $$\sin B+\sin P =1+\cos A \implies 2\sin\dfrac{B+P}2\cos\dfrac{B-P}2=2\cos^2\dfrac A2,$$ 即 $$2\cos\dfrac A2\left(\cos\dfrac{B-P}2-\cos\dfrac A2\right)=0\implies \dfrac{B-P}2=\pm\dfrac A2,$$ 从而 $B=\dfrac{\pi}2$ 或 $P=\dfrac{\pi}2$，因此点 $P$ 的轨迹是 $x=1$ 或 $x^2+y^2=1$，且 $y\ne 0$，$(0,-1)$ 可以作为 $P$ 点的坐标．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，命题得证．

3、设过点 $(2,1)$ 的直线 $l$ 方程为 $x=2+t$，$y=1+kt$，$M,N,Q$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2,t_3$（$t_1<t_2<t_3<0$）．联立直线 $l$ 与 $x^2+y^2=1$，可得 $$(1+k^2)t^2+(4+2k)t+4=0,$$ 该关于 $t$ 的方程的判别式 $\Delta=4k(4-3k)$，两个实数解为 $t_1,t_2$，于是 $k$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 43\right)\setminus \left\{\dfrac 13,1\right\}$（$\Omega$ 上不包含 $(\pm 1,0)$，而 $t_3=-1$．此时 $$\begin{split} m&=(1+k^2)\cdot |t_3-t_1|\cdot |t_3-t_2|\\ &=|(1+k^2)(-1-t_1)(-1-t_2)|\\ &=|(-1)^2+(4+2k)\cdot (-1) +4|\\ &=(k-1)^2,\end{split}$$ 于是 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 19,1\right)\setminus \left\{\dfrac 49\right\}$．