每日一题[3330]翻滚不息

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=\dfrac 1 2$，对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $\dfrac{S_n}{a_n}=2^n-\lambda$，其中 $\lambda$ 为定值．

1、求 $\lambda$ 的值以及数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

2、求集合 $A=\left\{x\mid x=\cos\dfrac{\pi}{12 a_n},n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 的元素个数．

解析

1、根据题意，有 $$\dfrac{S_1}{a_1}=1\implies 2^1-\lambda=1\implies \lambda=1,$$ 于是 $$S_n=a_n(2^n-1)\implies a_{n+1}=a_{n+1}(2^{n+1}-1)-a_n(2^n-1)\implies a_{n+1}=\dfrac 12a_n,$$ 从而 $a_n=\dfrac{1}{2^n}$．

2、根据题意，有 $$A=\left\{x\mid x=\cos\dfrac{2^n\pi}{12}, n\in\mathbb N^{\ast}\right\},$$ 设 $b_n=\cos\dfrac{2^n\pi}{12}$，则 $b_1=\dfrac{\sqrt 3}2$，$b_2=\dfrac 12$，$b_3=-\dfrac 12$，注意到当 $n\geqslant 4$ 时，有 $b_n=\cos\dfrac{2^{n-2}\pi}{3}$，而 $$2^{n-2}\equiv \pm 1\pmod 3\implies \dfrac{2^{n-2}\pi}{3}=k\pi\pm\dfrac{\pi}3\implies b_n=\pm \dfrac 12,$$ 因此集合 $A$ 中的元素个数为 $3$．