每日一题[3329]数阵

定义数阵 A(m,n)m,nN)如下:A(1,n)=12n,A(m+1,n)=1nni=1A(m,i),

A(3,9)= _____;

② 当 m,nNm,n2025 时,A(m,n) 中取值为整数的个数为_____.

答案    ① 32;② 2024

解析    根据题意,有A(2,n)=1nni=1i2=14(n+1),,一般的,数阵中的第 m 行是首项为 12,公差为 12m 的等差数列,于是A(m,n)=12m(n1)+12.A(3,9)=18(91)+12=32; ② 根据题意,所求个数为2025m=1[20242m+12]=2024.

备注    事实上,有 +m=1[n2m+12]=n,考虑 n 的二进制表示 ¯aka1(2),则按 n 的每一位在和式中的贡献分类求和,有+m=1[n2m+12]=ki=1(ai2i1)=n.

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