定义数阵 A(m,n)(m,n∈N∗)如下:A(1,n)=12n,A(m+1,n)=1nn∑i=1A(m,i),则
① A(3,9)= _____;
② 当 m,n∈N∗ 且 m,n⩽2025 时,A(m,n) 中取值为整数的个数为_____.
答案 ① 32;② 2024.
解析 根据题意,有A(2,n)=1nn∑i=1i2=14(n+1),⋯,一般的,数阵中的第 m 行是首项为 12,公差为 12m 的等差数列,于是A(m,n)=12m(n−1)+12. ① A(3,9)=18(9−1)+12=32; ② 根据题意,所求个数为2025∑m=1[20242m+12]=2024.
备注 事实上,有 +∞∑m=1[n2m+12]=n,考虑 n 的二进制表示 ¯ak⋯a1(2),则按 n 的每一位在和式中的贡献分类求和,有+∞∑m=1[n2m+12]=k∑i=1(ai⋅2i−1)=n.