每日一题[3328]分类考察

记 $m(x)$ 表示正整数 $x$ 的个位数字，如 $m(2025)=5$，若各项都为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $a_{n+1}=a_n\cdot m(a_n)$，则下列说法正确的是（        ）

A．若 $a_1=3$，则 $a_{2025}=81$

B．若存在 $a_1,k\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $a_k=2025$，则 $k$ 的所有可能取值为 $\{1,2,3\}$

C．若存在实数 $a,b$ 满足：对于任意的 $a_1\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $\displaystyle\sum_{i=1}^n m(a_i)\leqslant a n+b$，则当 $a$ 最小值时 $b\geqslant 4$

D．若存在 $a_1,k\in\mathbb N^{\ast}$，使得有且只有一个 $n$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^n m(a_i)\geqslant n k$，则 $k$ 的取值只有 $5$ 种

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，当 $a_1=3$ 时，有 $$a_n:3,9,81,81,\cdots,$$ 于是 $a_{2025}=81$，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，$(a_1,k)=(2025,1)$ 显然符合题意，于是 $k$ 可以取 $1$； 当 $k\geqslant 2$ 时，由于 $2025=3^5\cdot 5^2$，因此 $$(a_{k-1},m(a_{k-1}))=(405,5),$$ 而 $a_{k-1}$ 无法再由递推式得到，因此 $k=2$； 因此 $k$ 的所有可能取值为 $\{1,2\}$，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，考虑尾数的递推有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline a_1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline m(a_n)&0,0,\cdots&1,1,\cdots&2,4,6,6,\cdots&3,9,1,1,\cdots&4,6,6,\cdots&5,5,\cdots&6,6,\cdots&7,9,1,1\cdots&8,4,6,6,\cdots&9,1,1,\cdots \\ \hline x_n&0\to &1\to &2,3,4\to 5&3,6,4,3\to 1&4,5\to&5\to&6\to&7,8,5,4\to 1&8,6\to &9,5\to \\ \hline k&&&&6,5&&&&8&8,7&9,8,7,6\\ \hline\end{array}$$ 因此 $a$ 的最小值为 $6$，此时 $$b\geqslant \sum_{i=1}^n\left(m(a_i)-6\right),$$ 而右侧代数式的最大值当 $(a_1,n)=(7,2)$ 时取得，为 $4$，从而选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，设 $x_n=\left[\displaystyle\dfrac 1n\sum_{i=1}^nm(a_i)\right]$，则数列 $\{x_n\}$ 中的最大项唯一，$k$ 的取值为从次大项到最大项之间的所有整数（不包括次大项，包括最大项），为 $5,6,7,8,9$，共 $5$ 个，选项正确；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．