每日一题[3327]下落攻击

使边缘为抛物线 $x^2=2 p y$（$p>0$）图象的框架的对称轴竖直，从抛物线顶点正上方放入一个半径为 $1$ 的圆形纸板，使其只竖直下落至稳定状态，则下列说法正确的是[[nn]]

A．若圆形纸板与框架只有一个接触点，则 $p$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 1 2,+\infty\right)$

B．若圆形纸板与框架只有一个接触点，则 $p$ 的取值范围为 $[1,+\infty)$

C．存在 $p\in\left(0,\dfrac 1 2\right]$，使得圆形纸板边缘过抛物线的焦点

D．存在 $p\in\left(\dfrac 1 2,1\right]$，使得圆形纸板边缘过抛物线的焦点

答案    BC．

解析    联立抛物线方程与圆 $x^2+(y-t)^2=1$（$t\geqslant 1$），有 $$y^2+2(p-t)y+t^2-1=0,$$ 其判别式 $\Delta=1+p^2-2pt$．

情形一    当 $0<p<1$ 时，圆形纸板与抛物线切于关于 $y$ 轴对称的两点，稳定状态下 $t=\dfrac{1+p^2}{2p}$，圆形纸板最低点纵坐标为 $\dfrac1{2p}-1+\dfrac p2$，因此当 $p=\dfrac 12$ 时，圆形纸板边缘可以过抛物线焦点 $F\left(0,\dfrac p2\right)$，选项 $\boxed{C}$ 正确，选项 $\boxed{D}$ 错误；；

情形二     当 $p\geqslant 1$ 时，圆形纸板与抛物线切于原点，稳定状态下 $t=1$，选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{B}$ 正确． 综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．