每日一题[3324]引参求值

已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为 $\alpha$，则当圆锥的内切球体积最大时，$\alpha=$ _____．

答案    $2(\sqrt 2-1)\pi$．

解析    设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，则其侧面展开后的扇形面积

$$S=\dfrac 12\cdot 2\pi r\cdot l=\pi r l,\quad \alpha=\dfrac{2\pi r}l,$$ 圆锥的内切球半径 $R$ 满足 $$R^2=\dfrac{r^2(l^2-r^2)}{(l+r)^2}=\dfrac{r^2(l^2-r^2)S}{\pi rl(l+r)^2}=\dfrac{x(1-x)S}{\pi (1+x)}=\dfrac S{\pi}\cdot \left(3-\left((1+x)+\dfrac{2}{1+x}\right)\right) ,$$ 其中 $x=\dfrac rl$，因此当 $1+x=\sqrt 2$ 时圆锥的内切球体积取得最大值，从而 $$\alpha=2\pi\cdot x=2\left(\sqrt 2-1\right)\pi.$$