每日一题[3323]三次函数

已知函数 $f(x)=(x-a)\left(x^2-b\right)$，其中 $a>0$，且当 $x>0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，则（       ）

A．$b=a^2$

B．$x=a$ 为 $f(x)$ 的极大值点

C．若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有 $3$ 个不同的实数根，则 $a>\dfrac{3\sqrt 6}8$

D．若对任意 $x$ 都有 $f(x)\leqslant f(x+m)$，则 $m\geqslant\dfrac{4\sqrt 3 a}3$

答案    AC．

解析    对于选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$，注意到 $f(a)=0$，结合当 $x>0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，可得 $x=a$ 为函数 $f(x)$ 的极小值点，因此 $x=a$ 为函数 $f(x)$ 的二重根，从而 $b=a^2$，选项 $\boxed{A}$ 正确，选项 $\boxed{B}$ 错误；

对于选项 $\boxed{C}$，根据之前的分析，有 $f(x)=(x-a)^2(x+a)$，根据三次函数的对称性（$A(a,0)$，$M(-a,0)$，三等分点 $N_1,N_2$ 的横坐标分别为极大值点和对称中心横坐标），函数 $f(x)$ 的极大值点为 $x=-\dfrac a3$，对称中心 $D\left(\dfrac a3,f\left(\dfrac a3\right)\right)$，进而若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有 $3$ 个不同的实数根，则 $$a<f\left(-\dfrac a3\right)\iff a<\dfrac{32a^3}{27}\iff a>\dfrac{3\sqrt 6}8,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，当 $m=0$ 时符合题意 $^{[1]}$，选项错误；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．