每日一题[3321]面积坐标公式

已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $\Gamma:~ y^2=2 p x$（$p>0$），点 $B,C$ 在 $\Gamma$ 上．当 $\triangle OBC$ 为等边三角形时，其重心为 $(4,0)$．

1、求 $\Gamma$ 的方程；

2、已知点 $P(2,2)$，直线 $PB,PC$ 是圆 $D:(x-2)^2+y^2=\dfrac 45$ 的两条切线，求 $\triangle PBC$ 的面积． 

解析

1、当 $\triangle OBC$ 为等边三角形时，重心 $G(4,0)$，于是 $BC$ 的中点坐标为 $(6,0)$，因此抛物线过点 $\left(6,2\sqrt 3\right)$，进而 $p=1$，$\Gamma$ 的方程为 $y^2=2x$．

2、根据题意，过点 $P$ 的圆 $D$ 的双切线方程

$$PB\cup PC:~\left(4-\dfrac 45\right)\cdot \left((x-2)^2+y^2-\dfrac 45\right)=\left(2y-\dfrac 45\right)^2,$$ 整理得（注意直线 $PB,PC$ 的斜率互为相反数，且均经过 $P(2,2)$） $$PB\cup PC:~(2x+y-6)(2x-y-2)=0,$$ 设 $B(2b^2,2b)$，$C(2c^2,2c)$，$P(2t^2,2t)$，其中 $t=1$，不妨设 $b>c$，则直线 $PB,PC$ 的斜率分别为 $\dfrac{1}{t+b},\dfrac{1}{t+c}$，于是 $(b,c)=\left(-\dfrac 12,-\dfrac 32\right)$，因此 $\triangle PBC$ 的面积 $$\begin{split}\triangle PBC]&=2p^2|(t-b)(b-c)(c-t)|\\ &=2\cdot |b-c|\cdot |t^2-(b+c)+bc|\\ &=2\cdot 1\cdot \left|1+2+\dfrac 34\right|\\ &=\dfrac{15}2.\end{split}$$