每日一题[3319]不动点与迭代函数

曲线 $f(x)=x^2-4$ 在点 $\left(x_n,f\left(x_n\right)\right)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{n+1}$，$x_1=3$，则（       ）

A．$x_{n+1}=\dfrac{x_n}2+\dfrac 2{x_n}$

B．数列 $\left\{\ln\dfrac{x_n+2}{x_n-2}\right\}$ 为等差数列

C．$x_n=\dfrac{2\left(5^{2^{n-1}}+1\right)}{5^{2^{n-1}}-1}$

D．数列 $\left\{x_n-2\right\}$ 的前 $n$ 项和小于 $2$

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，曲线 $f(x)=x^2-4$ 在点 $\left(x_n,f\left(x_n\right)\right)$ 处的切线方程为 $$y=2x_n(x-x_n)+(x_n^2-4),$$ 因此 $$x_{n+1}=\dfrac{x_n}2+\dfrac2{x_n},$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，考虑迭代函数 $g(x)=\dfrac x2+\dfrac 2x$ 的不动点 $x=\pm 2$，于是 $$x_{n+1}-2=\dfrac{(x_n-2)^2}{2x_n},\quad x_{n+1}+2=\dfrac{(x_n+2)^2}{2x_n},$$ 两式相比，可得 $$\ln\dfrac{x_{n+1}+2}{x_{n+1}-2}=2\ln\dfrac{x_n+2}{x_n-2},$$ 因此数列 $\left\{\ln\dfrac{x_n+2}{x_n-2}\right\}$ 为等比数列，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，根据之前的分析，有 $$\ln\dfrac{x_n+2}{x_n-2}=2^{n-1}\cdot \dfrac{x_1+2}{x_1-2}=2^{n-1}\ln 5\implies x_n=\dfrac{2\left(5^{2^{n-1}}+1\right)}{5^{2^{n-1}}-1},$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，根据之前的分析，有 $$x_n-2=\dfrac{4}{5^{2^{n-1}}-1}\leqslant \dfrac4{5^n-1}=\dfrac4{(4+1)^n-1}\leqslant \dfrac{4}{4^n}=\dfrac1{4^{n-1}},$$ 于是 $$\sum_{k=1}^n(x_k-2)<\dfrac{1}{1-\frac 14}=\dfrac 43<2,$$ 选项正确；

综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．