每日一题[3318]韦达定理

实系数一元三次方程 $a x^3+b x^2+c x+d=0$ 在复数集内有 $3$ 个根 $x_1,x_2,x_3$，则

$$x_1+x_2+x_3=-\dfrac b a,\quad x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=\dfrac c a,\quad x_1 x_2 x_3=-\dfrac d a.$$ 设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-2 x^2+x-1=0$ 的 $3$ 个根，则 $\dfrac 1{x_1^2}+\dfrac 1{x_2^2}+\dfrac 1{x_3^2}=$ （       ）

A．$-4$

B．$-3$

C．$3$

D．$4$

答案    B．

解析    根据题意，$\dfrac1{x_1},\dfrac1{x_2},\dfrac1{x_3}$ 是方程

$$\dfrac{1}{x^3}-\dfrac2{x^2}+\dfrac1x-1=0\iff x^3-x^2+2x-1=0$$ 的 $3$ 个根，于是 $$\dfrac 1{x_1^2}+\dfrac 1{x_2^2}+\dfrac 1{x_3^2}=\left(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\dfrac{1}{x_3}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{x_1x_2}+\dfrac{1}{x_2x_3}+\dfrac{1}{x_3x_1}\right)=1^2-2\cdot 2=-3.$$

备注    或者

$$\sum\dfrac{1}{x^2}=\sum\dfrac{x^3-2x^2+x}{x^2}=\sum\left(x-2+\dfrac 1x\right)=2-6+1=-3.$$