每日一题[3313]等张角线

设点 $F$ 是抛物线 $x^2=4 y$ 的焦点，点 $M(0,m)$，$m>0$ 且 $m\neq 1$，动点 $N$ 在拋物线上（异于抛物线顶点），若 $\angle FNM$ 是锐角，则 $m$ 的范围为_____．

答案    $(0,1)\cup (1,9)$．

解析    根据题意，有 $F(0,1)$，根据题意点 $N(4t,4t^2)$ 在以 $FM$ 为直径的圆外，即 $$(4t)^2+(4t^2-1)(4t^2-m)>0\iff 16t^4-4(m-3)t^2+m>0,$$ 设 $f(x)=16x^2-4(m-3)x+m$，函数 $f(x)$ 在 $x\geqslant 0$ 时函数值为正数，也即 $$\begin{cases} f(0)>0,\\ \dfrac{m-3}8\leqslant 0,\end{cases}\text{或}~(m-1)(m-9)<0,$$ 解得 $m$ 的范围是 $(0,1)\cup (1,9)$．