每日一题[3312]引参求最值

三棱锥 $P-ABC$ 中，$PB=PC$，$AB=AC=\sqrt 2$，$AB\perp AC$，且平面 $PBC\perp~\text{平面}~ABC$，记三棱锥 $P-ABC$ 的体积为 $V$，内切球的半径为 $r$，则（        ）

A．二面角 $B-PA-C$ 大于 $\dfrac{\pi}2$

B．二面角 $A-PB-C$ 小于 $\dfrac{\pi}4$

C．$r<\sqrt 2-1$

D．$\dfrac 2 r-\dfrac 1 V\geqslant\sqrt 6+2$

答案     ACD．

解析    设 $BC$ 的中点为 $O$，连接 $OA,OP$，则 $OC,OA,OP$ 两两垂直，且 $OA=OB=OC=1$，设 $OP=t$，$OM\perp PA$ 于 $M$，连接 $BM,CM$，则

$$PA=PB=PC=\sqrt{1+t^2},\quad OM=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}},\quad BM=CM=\sqrt{\dfrac{1+2t^2}{1+t^2}}.$$

对于选项 $\boxed{A}$，$\angle BMC$ 为二面角 $B-PA-C$ 的平面角，而

$$BM^2+CM^2-BC^2=2\cdot \dfrac{1+2t^2}{1+t^2}-4=\dfrac{-2+4t^2}{1+t^2}<4,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，由于点 $A$ 在平面 $PBC$ 上的投影为 $O$，于是二面角 $A-PB-C$ 的余弦为

$$\dfrac{[\triangle PBO]}{[\triangle PBA]}=\dfrac{t}{\sqrt{1+2t^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2+\dfrac{1}{t^2}}}<\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 选项错误； 对于选项 $\boxed{C}$，三棱锥 $P-ABC$ 的表面积和体积分别为\

[S=1+t+\sqrt{1+2t^2},\quad V=\dfrac 13t,\]于是

$$r=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{t}{1+t+\sqrt{1+2t^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2+\dfrac 1{t^2}}+1+\dfrac 1t}<\sqrt 2-1,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$\dfrac 2r-\dfrac 1V=\dfrac{2\left(1+t+\sqrt{1+2t^2}\right)}t-\dfrac 3t=2\sqrt{2+\dfrac{1}{t^2}}-\dfrac 1t+2\geqslant^{[1]} \sqrt{2^2-1^2}\cdot \sqrt{2}+2=\sqrt 6+2,$$ 选项正确；

综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．