每日一题[3310]共轭双曲线

共轭双曲线是两条具有特殊位置关系的双曲线，如果一双曲线的实轴与虚轴分別为另一双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线．

1、设双曲线 $C_1,C_2$ 的离心率分別为 $e_1,e_2$，若 $C_1,C_2$ 互为共轭双曲线，证明：$e_1^2 e_2^2=e_1^2+e_2^2$．

2、已知双曲线 $E_1:\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 5}2$，且 $E_1$ 的共轭双曲线 $E_2$ 经过点 $A(\sqrt 2,2)$．

① 求 $E_2$ 的方程；

② 设 $M$ 为 $E_2$ 上的点，直线 $AM$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$，点 $M$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $N$，直线 $AN$ 与 $y$ 轴相交于点 $Q$，若 $|MN|>2\sqrt 2$ 且 $|AM|\cdot|AP|=|AN|\cdot|AQ|$，求 $M$ 的坐标．

解析

1、不妨设 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），而 $C_2:\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1$（$a,b,>0$），从而 $e_1=\sqrt{1+\left(\dfrac ba\right)^2}$，$e_2=\sqrt{1+\left(\dfrac ab\right)^2}$，进而

$$1=\left(\dfrac ba\right)^2\cdot \left(\dfrac ab\right)^2=(e_1^2-1)\cdot (e_2^2-1)\implies e_1^2e_2^2=e_1^2+e_2^2,$$ 命题得证．

2、① 根据题意，有

$$\sqrt{1+\dfrac {b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 5}2\implies \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac14,$$ 设 $E_1:x^2-\dfrac{y^2}{4}=b^2$，双曲线 $E_1$ 过点 $A\left(\sqrt 2,2\right)$，于是 $b^2=1$，因此所求方程为 $x^2-\dfrac{y^2}4=1$．

② 不妨先设 $M(m,n)$，$N(-m,n)$（$m>\sqrt 2$），直线 $AM,AN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则

$$|AM|\cdot |AP|=|AN|\cdot |AQ|\iff (1+k_1^2)\cdot (m-\sqrt 2)\cdot \sqrt 2=(1+k_2^2)\cdot (\sqrt 2+m)\cdot \sqrt 2,$$ 即 $$(m-\sqrt 2)\cdot \left(1+\left(\dfrac{n-2}{m-\sqrt 2}\right)^2\right)=(m+\sqrt 2)\cdot \left(1+\left(\dfrac{n-2}{m+\sqrt 2}\right)^2\right),$$ 即 $$\dfrac{(m-\sqrt 2)^2+(n-2)^2}{m-\sqrt 2}=\dfrac{(m+\sqrt 2)^2+(n-2)^2}{m+\sqrt 2}\iff (m^2-2)-(n-2)^2=0,$$ 与 $m^2-\dfrac {n^2}4=1$ 联立可得 $$(m,n)=\left(\sqrt 2,2\right),\left(\dfrac{\sqrt{34}}3,\dfrac{10}3\right),$$ 于是所求 $M$ 的坐标为 $\left(\pm\dfrac{\sqrt{34}}3,\dfrac{10}3\right)$．

备注   

考虑双曲线的参数方程     设 $E_2$ 的参数方程为 $x=\sec \theta$，$y=2\tan \theta$，点 $A,M,N$ 对应的参数分别为 $2\theta_0,2\theta_1,2\theta_2$，则根据题意，$2\theta_0=\dfrac{\pi}4$，且由 $M,N$ 点关于 $y$ 轴对称，可得

$$2\theta_1+2\theta_2=\pi\iff \theta_1+\theta_2=\dfrac{\pi}2,$$ 分别设 $\theta_0,\theta_1,\theta_2$ 的正切分别为 $t_0,t_1,t_2$，$t_1t_2=1$，且 $$AM:x(1+t_0t_1)-\dfrac y2(t_0+t_1)=1-t_0t_1,$$ 从而 $$|AM|\cdot |AP|=\left(1+\left(\dfrac{2(1+t_0t_1)}{t_0+t_1}\right)^2\right)\cdot \left(\dfrac{t_1^2+1}{t_1^2-1}-\sqrt 2\right)\cdot \sqrt 2,$$ 且 $$|AN|\cdot |AQ|=\left(1+\left(\dfrac{2(1+t_0t_2)}{t_0+t_2}\right)^2\right)\cdot \left(\sqrt 2-\dfrac{t_2^2+1}{t_2^2-1}\right)\cdot \sqrt 2,$$ 解方程即可．