每日一题[3305]椭圆化圆

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，且 $E$ 的短轴长为 $2$．$A,B,C,D$ 是 $E$ 上不同的四点．

1、求 $E$ 的方程；

2、若点 $A$ 在 $x$ 轴上方，且 $3\overrightarrow{F_2 A}+\overrightarrow{F_2 B}=0$，求直线 $AB$ 的斜率；

3、若 $C,D$ 都在 $x$ 轴上方，且 $CF_2 \parallel DF_1$，求四边形 $CF_2 F_1 D$ 面积的最大值．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2,\\ 2b=2,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=2,\\ b^2=1,\end{cases}$$ 于是椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$．

2、设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则根据焦半径公式，可得 $$|F_2A|=\dfrac{b^2}{a+c\cos\theta},\quad |F_2B|=\dfrac{b^2}{a-c\cos\theta},$$ 从而 $$3\overrightarrow{F_2 A}+\overrightarrow{F_2 B}=0\implies \dfrac{|F_2A|}{|F_2B|}=\dfrac13\implies \dfrac{a-c\cos\theta}{a+c\cos\theta}=\dfrac13\implies \cos\theta=\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 于是 $\theta=\dfrac{\pi}4$，所求斜率为 $\tan\theta=1$．

3、设 $C,D$ 关于原点 $O$ 的对称点分别为 $G,H$，则四边形 $CDGH$ 为平行四边形，且 $F_1,F_2$ 分别在边 $DG,CH$ 上．将椭圆通过伸缩变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 2y$ 变为圆 $x'^2+y'^2=2$，设 $C,D,G,H$ 的对应点分别为 $C',D',G',H'$，则四边形 $C'D'G'H'$ 为圆内接平行四边形，即圆内接矩形，考虑其面积为 $4[\triangle D'OC]=2r^2\cdot \sin\angle C'OD'\leqslant 2r^2$，其中 $r=\sqrt 2$ 为圆的半径，于是矩形 $C'D'G'H'$ 面积的最大值为 $4$（当 $C'D'G'H'$ 为正方形时取得），进而 $CF_2F_1D$ 的面积 $$[CF_2F_1D]=\dfrac 12[CDGH]=\dfrac 12\cdot \dfrac{1}{\sqrt 2}[C'D'G'H']\leqslant \dfrac 12\cdot \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot 4=\sqrt 2,$$ 等号当 $CF_2,DF_1$ 均与 $x$ 轴垂直时可以取得，因此所求面积的最大值为 $\sqrt 2$．