每日一题[3303]比赛局数

甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为 $p_1$（$0<p_1<1$），乙赢的概率为 $p_2$，且 $p_1+p_2=1$．规定，比赛中先赢三局者获胜，比赛结束．若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了 $X$ 局，则 $X$ 的数学期望的最大值为_____．

答案    $\dfrac{33}8$．

解析    记 $p_1=\dfrac 12+p$，$p_2=\dfrac 12-p$，其中 $p\in\left[0,\dfrac 12\right)$，当比赛中先赢 $n$ 局者获胜时，比赛在 $k$ 局结束（$k=n,\cdots,2n-1$）的概率 $$\begin{split} P(X=k)&=\dbinom {k-1}{n-1}\left(\left(\dfrac 12+p\right)^n\left(\dfrac 12-p\right)^{k-n}+\left(\dfrac 12+p\right)^{k-n}\left(\dfrac 12-p\right)^{n}\right)\\ &=\dbinom {k-1}{n-1}\left(\dfrac 14-p^2\right)^{k-n}\left(\left(\dfrac 12+p\right)^{2n-k}+\left(\dfrac 12-p\right)^{2n-k}\right),\end{split}$$ 当 $n=3$ 时，有 $$\begin{split} E(X)&=\sum_{k=n}^{2n-1}\left(k\cdot P(X=k)\right)\\ &=3\left(\dfrac14+3p^2\right)+4\left(\dfrac 38-6p^4\right)+5\left(\dfrac 38-3p^2+6p^4\right)\\ &=\dfrac{33}8-6p^2(1-p^2)\\ &\leqslant \dfrac{33}8,\end{split}$$ 等号仅当 $p=0$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{33}8$．

备注    若规定改为比赛中先赢 $n$ 局者获胜，如何求 $X$ 的数学期望的最大值 $M_n$？可以计算计算，$M_1=1$；$M_2=\dfrac 52$；$M_3=\dfrac{33}8$，一般的有 $$M_n=2\sum_{k=0}^{n-1}(n+k)\cdot \dbinom{n+k-1}{k}\left(\dfrac 12\right)^{n+k}=2n-\dfrac{2\Gamma\left(\dfrac 12+n\right)}{\sqrt{\pi}\cdot \Gamma(n)}=2n-\dfrac{n}{2^{2n-1}}\dbinom{2n}n,$$ 详细的推导见「卡特兰数」．