每日一题[3302]卡西尼卵

在平面内，曲线 $C$ 是动点 $P(x,y)$ 到定点 $A(-2,0)$，$B(2,0)$ 距离之积为常数 $k$（$k>0$）的点的轨迹．巳知 $C$ 过原点 $O$，则（       ）

A．$k=4$

B．$C$ 关于直线 $y=x$ 对称

C．$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $2$

D．$|OP|\leqslant 2\sqrt 2$

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，根据题意，曲线 $C$ 的方程为

$$\sqrt{(x+2)^2+y^2}\cdot \sqrt{(x-2)^2+y^2}=k.$$ 原点 $O$ 在曲线 $C$ 上，解得 $k=4$，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，分别令 $x,y=0$，可得曲线 $C$ 的横截距为 $\pm 2\sqrt 2,0$，纵截距为 $0$，因此曲线 $C$ 不关于直线 $y=x$ 对称，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，有

$$|y|=\sqrt{4\sqrt{1+x^2}-(4+x^2)}=\sqrt{1-(\sqrt{1+x^2}-2)^2}\leqslant 1,$$ 等号当 $x^2=3$ 时取得，因此 $\triangle PAB$ 面积的最大值为 $2$，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，根据对选项 $\boxed{C}$ 的分析，有 $x^2$ 的取值范围是 $[0,8]$，且

$$x^2+y^2=4\sqrt{1+x^2}-4,$$ 于是 $|OP|^2$ 的取值范围是 $[0,8]$，选项正确 $^{[1]}$；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．

备注    $[1]$ 事实上，$|OP|$ 的最大值为 $2\sqrt 2$，当且仅当 $x=\pm 2\sqrt 2$ 时取得．