每日一题[3300]倍缩函数

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若函數 $f(x)$ 满足条件：存在 $[a,b]\subseteq D$，使 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值为 $\dfrac a n$，最大值为 $\dfrac b n$，其中 $n$ 为正整数，则称 $f(x)$ 为 $n$ 倍缩函数．若函数 $f(x)=\log_4\left(2^x+t\right)$ 为 $4$ 倍缩函数，则实数 $t$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(0,\dfrac 1 4\right]$

B．$\left(0,\dfrac 1 4\right)$

C．$\left(-\infty,\dfrac 1 4\right]$

D．$\left(-\infty,\dfrac 14\right)$

答案    B．

解析    根据题意，函数 $f(x)$ 在定义域上单调递增，于是函数 $f(x)$ 在 $x\in[a,b]$ 上的函数值的取值范围是 $[f(a),f(b)]$，从而根据 $4$ 倍缩函数的定义，$x=a,b$ 是关于 $t$ 的方程

$$\log_4\left(2^x+t\right)=\dfrac x4\iff 2^x-2^{\frac x2}+t=0$$ 的两个实数解，即函数 $g(x)=x^2-x+t$ 有两个不等正根，从而 $$\begin{cases} g(0)>0,\\ 1-4t>0,\end{cases}\iff 0<t<\dfrac14.$$