每日一题[3298]切线条数

已知函数 $f(x)=x^3-3 x^2-x+3$．

1、求 $\displaystyle\sum_{i=1}^7 f\left(\dfrac i 4\right)$；

2、若曲线 $y=f(x)+a\ln x$（$x\in(3,4)$）存在两条相互垂直的切线，求 $a$ 的取值范围；

3、设 $y$ 轴右侧有一点 $M$，若当且仅当过点 $M$ 恰好能作曲线 $y=f(x)$ 的 $3$ 条切线，求点 $M$ 的集合．

解析

1、三次函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=3x^2-6x-1,$$ 于是对称中心为 $(1,0)$，从而 $$\displaystyle\sum_{i=1}^7 f\left(\dfrac i 4\right)=\dfrac 12\sum_{i=1}^7 \left(f\left(\dfrac i 4\right)+f\left(2-\dfrac i 4\right)\right)=0.$$

2、函数 $g(x)=f(x)+a\ln x$ 的导函数 $$g'(x)=3x^2-6x-1+\dfrac ax,$$ 根据题意，函数 $g'(x)$（$x\in(3,4)$）的值域 $K$ 中存在乘积为 $-1$ 的两个数．若 $a\geqslant 0$，则在 $x\in (3,4)$ 上 $g'(x)>0$，不满足题意；若 $a<0$，有 $$g''(x)=6x-6-\dfrac a{x^2},$$ 于是 $g'(x)$ 在 $x\in (3,4)$ 上单调递增，值域 $$K=\left(g'(3),g'(4)\right)=\left(8+\dfrac a3,23+\dfrac a4\right),$$ 从而 $$\begin{cases} a<0,\\ \left(8+\dfrac a3\right)\cdot \left(23+\dfrac a4\right)<-1,\end{cases}\iff \begin{cases} a<0,\\ a^2+116a+2220<0,\end{cases}$$ 解得 $a$ 的取值范围范围是 $\left(-58-2\sqrt{286},-58+2\sqrt{286}\right)$．

3、在 $f(x)$ 的对称中心 $(1,0)$ 处的切线方程为 $y=-4x+4$，于是根据三次函数的切线条数性质，点 $M$ 的取值集合为 $$\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x<1,\\ f(x)<y<-4x+4,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} x>1,\\ -4x+4<y<f(x).\end{cases}\right\}.$$