每日一题[3296]三角与面积法

在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$AD$ 平分 $\angle BAC$，设 $AB=m AC$，$AD=n AC$．

1、若 $\dfrac m n=2$，$\angle DAC+\angle BAC=\pi$，证明：$AB=AC$；

2、若 $m=3$，求 $n$ 的取值范围．

解析

1、由于 $\angle DAC+\angle BAC=\pi$ 且 $AD$ 平分 $\angle BAC$，于是 $$\angle DAB=\angle DAC=\dfrac{\pi}3,$$ 根据正弦定理，有 $$2=\dfrac mn=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{\sin B}{\sin \angle ADB}=\dfrac{\sin B}{\sin\left(\dfrac{2\pi}3-B\right)},$$ 右侧关于 $B$ 单调递增，从而 $B=\dfrac{\pi}6$，进而 $AB=AC$．

2、记 $\angle BAD=\angle DAC=\theta$，根据题意，有 $$[\triangle ABC]=[\triangle ABD]+[\triangle ADC]\implies AB\cdot AC\cdot \sin2\theta=AB\cdot AD\cdot \sin\theta+AD\cdot AC\cdot\sin\theta,$$ 而 $AB=3AC$，从而 $$6\cos\theta=4n\implies n=\dfrac32\cos\theta,$$ 于是 $n$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 32\right)$．