每日一题[3294]五棱齐聚

一个四面体有 $5$ 条棱的棱长为 $2\sqrt 3$，且外接球的表面积为 $\dfrac{84}5\pi$，则不同于这 $5$ 条棱的棱的棱长为_____．

答案    $\sqrt 6$．

解析    根据题意，该四面体为两个正三角形 $PAB$ 和 $QAB$ 形成，其中

$$PA=PB=AB=QA=QB=2\sqrt 3,$$ 设 $M,N$ 为 $AB,PQ$ 的中点，$PQ=2x$，分析截面 $PMQ$．

根据题意，四面体的外接球球心 $O$ 在 $MN$ 上，且 $O$ 在底面上的投影为 $MQ$ 靠近 $M$ 的三等分点 $H$，且半径 $r=\sqrt{\dfrac{21}5}$，进而 $MH=1$，$OM=\sqrt{r^2-3}=\sqrt{\dfrac 65}$，进而 $OH=\dfrac{1}{\sqrt 5}$，于是

$$\dfrac{NQ}{QM}=\dfrac{OH}{OM}\implies PQ=2NQ=2\cdot \dfrac{OH}{OM}\cdot QM=\sqrt 6.$$