自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为＂北京十六景＂之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计．初步设计穹顶建模的步骤大致为：
步骤一 将半径为 1 的圆 O（圆心为 O）沿直径 PQ 分为两部分，得到半圆弧；
步骤二 保留其中一个半圆弧，将其 n（n⩾，n\in\mathbb N^{\ast}）等分，从端点 P 出发依次连接各个等分点至另一个端点 Q，得到折线 P-A_1-A_2-\cdots-A_{n-1}-Q；
步骤三 将折线绕 PQ 所在直线旋转，得到旋转体；
步骤四 不断调整 n 值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整． 设步骤三所得旋转体的表面积为 S_n，\angle POA_k 的正弦值为 T_k（k\leqslant n-1，k\in\mathbb N^{\ast}），则（ ）
A．0<\dfrac{S_{n+1}-S_n}{S_{n+1}+S_n}<5-2\sqrt 6
B．\dfrac{S_2}{S_3}=\dfrac{2\sqrt 2}3
C．当 n=180 时，\dfrac{T_{29}}{T_{30}}>\dfrac{29}{30}
D．S_{99}>\dfrac{395}{99}\pi
答案 CD．
解析 如图．
根据题意，各个圆台的母线长均为 l=2\sin\dfrac{\pi}{2n}，从下到上底面半径（记 P 为 A_0，Q 为 A_n）r_k=|OA_k|\cdot |\cos\angle POA_k|=\left|\cos\dfrac{k\pi}n\right|=\sin\dfrac{(n-2k)\pi}{2n},于是\begin{split} S_n&=\sum_{k=0}^{n-1}\pi(r_k+r_{k+1})\cdot l\\ &=2\pi\sum_{k=0}^{n-1}\left(2\sin\dfrac{(n-2k)\pi}{2n}\cdot \sin\dfrac{\pi}{2n}\right)\\ &=2\pi\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sin\dfrac{(n-2k+1)\pi}{2n}-\sin\dfrac{(n-2k-1)\pi}{2n}\right)\\ &=2\pi\left(\sin\dfrac{(n+1)\pi}{2n}+\sin\dfrac{(-n+1)\pi}{2n}\right)\\ &=4\pi\cos\dfrac{\pi}{2n}, \end{split}
对于选项 \boxed{A} \boxed{B}，选项即1<\dfrac{S_{n+1}}{S_n}<\sqrt{\dfrac 32},由于 S_n 单调递增，于是左边不等式显然成立，而\dfrac{S_{n+1}S_{n-1}}{S_n^2}=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{2n+2}\cos\dfrac{\pi}{2n-2}}{\cos^2\dfrac{\pi}{2n}}=\dfrac{\cos\dfrac{n\pi}{n^2-1}+\cos\dfrac{\pi}{n^2-1}}{\cos\dfrac{\pi}{n}+1}=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{n-\frac 1n}+\cos\dfrac{\pi}{n^2-1}}{\cos\dfrac{\pi}{n}+\cos 0}<1,从而 \dfrac{S_{n+1}}{S_n} 单调递减，又 S_2=2\sqrt 2\pi，S_3=2\sqrt 3\pi，因此\dfrac{S_{n+1}}{S_n}\leqslant \dfrac{S_3}{S_2}=\sqrt{\dfrac32},选项 \boxed{A} \boxed{B} 错误；
对于选项 \boxed{C}，由于函数 y=\dfrac{\sin x}x 在 x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right) 上单调递减，于是当 x_1<x_2 时，有\dfrac{\sin x_1}{x_1}>\dfrac{\sin x_2}{x_2}\implies \dfrac{\sin x_1}{\sin x_2}>\dfrac{x_1}{x_2},选项正确；
对于选项 \boxed{D}，即比较 4\pi\cos\dfrac{\pi}{198} 与 \dfrac{395\pi}{99} 的大小关系，也即 \cos\dfrac{\pi}{198} 与 \dfrac{395}{396} 的大小关系．考虑函数 y=\cos(\pi x) 的割线 AB:y=1-12\left(1-\cos\dfrac{\pi}{12}\right)x，其中 A(0,1)，B\left(\dfrac 1{12},\cos\dfrac{\pi}{12}\right)，有\cos (\pi x)>1-12\left(1-\cos\dfrac{\pi}{12}\right)x>1-\dfrac 12x\impliedby \cos\dfrac{\pi}{12}>\dfrac{23}{24},而利用二倍角公式，有0.86\cdots=\dfrac{\sqrt 3}2=\cos\dfrac{\pi}6>2\left(\dfrac{23}{24}\right)^2-1=\dfrac{241}{288}=0.83\cdots,取 x=\dfrac{1}{198} 即得选项正确；
综上所述，正确的选项为 \boxed{C} \boxed{D}．