每日一题[3292]周期数列

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(x-1)=f(x)+f(x-2)$，且 $f(35)>f(25)$，$f(30)>f(10)$，则下列结论中一定正确的是（       ）

A．$f(20)>100$

B．$f(20)<1000$

C．$f(30)>1000$

D．$f(30)<10000$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$f(x)=f(x-1)-f(x-2),$$ 设 $f(n)=a_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），$a_1=a$，$a_2=b$，则 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline a_n&a&b&b-a&-a&-b&a-b&a&b\\ \hline\end{array}$$ 因此数列 $\{a_n\}$ 是周期为 $6$ 的数列，进而 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline n&10&20&25&30&35\\ \hline a_n&-a&b&a&a-b&-b\\ \hline\end{array}$$ 从而 $$\begin{cases} f(35)>f(25),\\ f(30)>f(10),\end{cases}\iff \begin{cases} -b>a,\\ a-b>-a,\end{cases}\iff \dfrac 12b<a<-b,$$ 因此 $b<0$ 且 $a$ 可取得任何实数，因此 $f(20)<0$，$f(30)$ 可以取得任何实数，只有选项 $\boxed{B}$ 正确．