每日一题[3289]方程与系数

设集合 $M=\{x\mid x=2 n-1,n\in\mathbb Z\}$，若 $a,b,c\in M$，$d,e\in\mathbb R$，且 $3 d+e=\dfrac b a$，$d e=\dfrac c a$，则（       ）

A．$b^2<12 a c$

B．$\exists d\in\mathbb R,e=0$

C．$b\leqslant a c$

D．$\forall d\in\mathbb Z,e\notin\mathbb Z$

答案    D．

解析    根据题意，$a,b,c$ 都是奇数，有 $$3d+e=\dfrac ba,\quad 3d\cdot e=\dfrac{3c}{a},$$ 于是 $3d,e$ 是关于 $x$ 的方程 $$ax^2-bx+3c=0$$ 的两个实数根，有 $$b^2-12ac\geqslant 0,$$ 选项 $\boxed{A}$ 错误； 取 $(a,b,c)=(-1,3,1)$，则 $b>ac$，选项 $\boxed{C}$ 错误； 若 $e=0$，则 $c=0$，与 $c\in M$ 矛盾，选项 $\boxed{B}$ 错误； 对于选项 $\boxed{D}$，若 $d,e\in\mathbb Z$，则由于 $c=ade$，因此 $d,e$ 都是奇数，进而 $3d+e$ 是偶数，此时 $b=a(3d+e)$ 为偶数，矛盾，选项 $\boxed{D}$ 正确． 综上所述，正确的选项为 $\boxed{D}$．