每日一题[3283]规划与最值

已知函数 $f(x)=(x-a)|x-b|+c$，$x \in\mathbb R$．

1、当 $a=1$，$b=0$ 时，方程 $f(x)=0$ 有两个实数解，求 $c$ 的取值范围；

2、若 $a=0$ 且对任意 $x \in[0,1]$，不等式 $f(x) \leqslant 0$ 恒成立，求 $b+2 c$ 的最大值．

解析

1、根据题意，有 $$f(x)=0\iff (x-1)\cdot |x|=-c,$$ 因此 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&&0&&1&&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&0&\searrow&-\dfrac 14&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 因此 $-c$ 的取值范围是 $\left\{-\dfrac 14,0\right\}$，进而 $c$ 的取值范围是 $\left\{0,\dfrac 14\right\}$．

2、根据题意，有 $$\forall x\in [0,1],x\cdot |x-b|\leqslant -c,$$ 因此当 $b$ 确定时，$-c$ 的最小值是函数 $g(x)=x\cdot |x-b|$ 的最大值 $m(b)$，问题即求 $b-2\cdot m(b)$ 的最大值．而 $$m(b)=\begin{cases} b-1,&b\geqslant 2,\\ \dfrac {b^2}4,&2\sqrt 2-2\leqslant b<2,\\ 1-b,&b<2\sqrt 2-2,\end{cases}\implies b-2\cdot m(b)=\begin{cases} 2-b,&b\geqslant 2,\\ b-\dfrac {b^2}2,&2\sqrt 2-2\leqslant b<2,\\ 3b-2,&b<2\sqrt 2-2,\end{cases}$$ 因此当 $b=1$ 时，$b+2c$ 取得最大值为 $\dfrac 12$．

备注    注意 $b+2c$ 中 $b,c$ 的系数之比，取 $$f\left(\dfrac 12\right)\leqslant 0\iff \dfrac 12\left|\dfrac 12-b\right|+c\leqslant 0\implies \left|b-\dfrac 12\right|+2c\leqslant 0,$$ 于是 $$b+2c\leqslant \left|b-\dfrac12\right|+\dfrac 12+2c\leqslant \dfrac 12,$$ 接下来探索 $b+2c=\dfrac 12$ 的可能性，此时 $x=\dfrac 12$ 位于区间 $[0,1]$，因此考虑抛物线段顶点横坐标 $x=\dfrac b2$，有 $b=1$，而 $c=-\dfrac 14$，经验证符合题意，因此所求最大值为 $\dfrac 12$．