每日一题[3282]特征根法

已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 对于 $m \in\mathbb N^{\ast}$，若 $\left\{a_n\right\}$ 同时满足以下三个条件，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$．

条件 ①：$a_n>0$（$n=1,2, \cdots$）；

条件 ②：存在常数 $T>0$，使得 $a_n \leqslant T$（$n=1,2, \cdots$）；

条件 ③：$a_n+a_{n+1}=m a_{n+2}$（$n=1,2, \cdots$）．

1、若 $a_n=5+4 \cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$（$n=1,2, \cdots$），且数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$，直接写出 $m$ 的值和一个 $T$ 的值；

2、是否存在具有性质 $P(1)$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$？若存在，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式：若不存在，说明理由；

3、设数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$，且各项均为正整数，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

解析

1、根据求数列通项的特征根法，特征根方程 $1+x=mx^2$ 有根 $x=-\dfrac 12,1$，于是 $m=2$，且 $\{a_n\}$ 的最大值为 $6$，所以 $T\geqslant 6$ 即可．

2、若数列 $\{a_n\}$ 具有性质 $P(1)$，则根据条件 ③，其特征根方程为 $1+x=x^2$，因此 $$a_n=A\cdot \alpha^n+B\cdot \beta^n,$$ 其中 $\alpha=\dfrac{1+\sqrt 5}2$，$\beta=\dfrac{1-\sqrt 5}2$，且由条件 ① 可得 $A>0$，进而 $$a_n>A\cdot \alpha^n-|B|,$$ 于是数列 $\{a_n\}$ 无上界，不满足条件 ②． 综上所述，不存在具有性质 $P(1)$ 的数列 $\{a_n\}$．

3、根据第 $(2)$ 小题的结果，有 $m\geqslant 2$．若数列 $\{a_n\}$ 具有性质 $P(m)$，则根据条件 ③，其特征根方程为 $1+x=mx^2$，因此 $$a_n=A\cdot \alpha^n+B\cdot \beta^n,$$ 其中 $\alpha,\beta$ 为特征根，不妨设 $|\alpha|\geqslant |\beta|$，根据条件 ②，有 $|\alpha|\leqslant 1$． 若 $|\alpha|<1$，则当 $n\to +\infty$ 时，有 $a_n\to 0$，这与 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数矛盾； 若 $|\alpha|=1$，此时 $m=2$，有 $\alpha=1$，$\beta=-\dfrac 12$，为了保证 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，有 $B=0$，因此 $\{a_n\}$ 为常数列． 综上所述，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=C$，其中 $C$ 是正整数常数．