每日一题[3270]阿波罗尼斯圆

在 $\triangle A B E$ 中，$B E=3$，$\angle B A C=\angle E A D$，$\dfrac{B C \cdot B D}{D E \cdot E C}=\dfrac{1}{4}$，当 $\angle A E B$ 取最大值时，$\triangle A B E$ 的面积为_____．

答案    $\dfrac{3\sqrt 3}2$

解析    根据题意，有 $$\dfrac 14=\dfrac{BC\cdot BD}{DE\cdot EC}=\dfrac{\left(\dfrac 12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle BAC\right)\cdot \left(\dfrac 12\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD\right)}{\left(\dfrac 12\cdot AD\cdot AE\cdot \sin\angle DAE\right)\cdot \left(\dfrac 12\cdot AC\cdot AE\cdot \sin\angle CAE\right)}=\dfrac{AB^2}{AE^2},$$ 于是 $AE=2\cdot AB$，根据阿波罗尼斯圆的定义，$A$ 在以 $O$ 为圆心 $r$ 为半径的圆上，且 $$\dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OE}=\dfrac 12,\quad OE-OB=BE=3,$$ 解得 $r=2$，$OE=4$，$OB=1$，因此 $\angle AEB$ 的最大值为 $\dfrac{\pi}6$，此时 $\triangle ABE$ 的面积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．