每日一题[3268]空间卡位

已知 $f(x)=a x^3+b x+c$（$x\in [0,1]$）满足 $f(x)\in [0,1]$，则 $b$ 的最大值是_____．

答案    $\dfrac{3\sqrt 3}2$．

解析    根据题意 $^{[1]}$，有 $$\begin{cases} f(0)=c,\\ f\left(\dfrac{\sqrt 3}3\right)=\dfrac{\sqrt 3}9a+\dfrac{\sqrt 3}3b+c,\\ f(1)=a+b+c,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\dfrac {3\sqrt 3-3}2f(0)-\dfrac{3\sqrt 3}2f\left(\dfrac{\sqrt 3}3\right)+\dfrac 32f(1),\\ b=\dfrac{1-3\sqrt 3}2f(0)+\dfrac{3\sqrt 3}2f\left(\dfrac{\sqrt 3}3\right)-\dfrac 12f(1),\\ c=f(0),\end{cases}$$ 因此 $$b\leqslant \dfrac{1-3\sqrt 3}2\cdot 0+\dfrac{3\sqrt 3}2\cdot 1-\dfrac 12\cdot 0=\dfrac{3\sqrt 3}2,$$ 等号当 $f(0)=0$，$f\left(\dfrac{\sqrt 3}3\right)=1$，$f(1)=0$ 时即 $f(x)=-\dfrac{3\sqrt 3}2(x^3-x)$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．

备注    为了尽可能腾出空间给 $b$，有 $a<0$，$c=f(0)=0$，相当于 $f(x)=ax^3+bx$ 在 $x\in [-1,1]$ 上函数值的变化为 $[-1,1]$，此时卡位点为 $f(-1),f\left(-\dfrac{\sqrt 3}3\right),f\left(\dfrac{\sqrt 3}3\right),f(1)$．