每日一题[3265]根系关系

已知 $f(x)=a x^3+b x^2+c x+d$（$x \in[0,1]$）且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$，则 $a$ 的最小值为_____．

答案    $-\dfrac 83$．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c,$$ 于是问题可以简化为函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足在 $x\in [0,1]$ 上 $|f(x)|\leqslant 1$，求 $\dfrac a3$ 的最小值．由于 $$\begin{cases} f(0)=c,\\ f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac a4+\dfrac b2+c,\\ f(1)=a+b+c,\end{cases}\implies a=2f(0)-4f\left(\dfrac 12\right)+2f(1),$$ 于是 $$|a|\leqslant 2|f(0)|+4\left|f\left(\dfrac 12\right)\right|+2f|f(1)|\leqslant 8,$$ 因此 $-8\leqslant a\leqslant 8$，而当 $$f(0)=-f\left(\dfrac 12\right)=f(1)=-1$$ 时，$f(x)=-8\left(x-\dfrac 12\right)^2+1$，此时 $a=-8$，因此所求最小值为 $-\dfrac 83$．