每日一题[3262]扶不起的阿斗

满足 $\sin\left(\sqrt 2\right)+\sin\left(2\sqrt 2\right)+\cdots+\sin\left(n\sqrt 2\right)>2$ 的正整数 $n$ 个数为（       ）

A．$0$

B．$1$

C．无穷多个

D．前三个答案都不对

答案    A．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} LHS&=\sum_{k=1}^n\sin\left(k\sqrt 2\right)\\ &=\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin\left(k\sqrt 2\right)\sin\frac{\sqrt 2}2}{\sin\frac{\sqrt 2}2}\\ &=\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos\left(\left(k-\frac 12\right)\sqrt 2\right)-\cos\left(\left(k+\frac 12\right)\sqrt 2\right)}{2\sin\frac{\sqrt 2}2}\\ &=\dfrac{\cos\frac{\sqrt 2}2-\cos\left(\left(n+\frac 12\right)\sqrt 2\right)}{2\sin\frac{\sqrt 2}2},\end{split}$$ 因此题中不等式即 $$\cos\left(\left(n+\frac 12\right)\sqrt 2\right)<\cos\frac{\sqrt 2}2-4\sin\frac{\sqrt 2}2,$$ 而 $$\cos\frac{\sqrt 2}2-4\sin\frac{\sqrt 2}2<1-4\sin\dfrac{\pi}6=-1,$$ 因此不存在满足题中不等式的正整数 $n$．