每日一题[3259]基本放缩与进阶放缩

已知函数 $f(x)=a \ln x-(x-1) \mathrm{e}^{b x}$（$a, b$ 是常数，$\mathrm e$ 是自然对数的底数）．

1、当 $a=1$，$b=0$ 时，求函数 $f(x)$ 的最大值；

2、当 $a>\mathrm e$，$b=1$ 时，

① 证明：函数 $f(x)$ 存在唯一的极值点 $\beta$；

② 若 $f(\alpha)=0$，且 $\alpha>\beta$，证明：$(\alpha-\beta)(2 \beta+1)<3\left(\beta^2-1\right)$．

解析

1、当 $a=1$，$b=0$ 时，有 $f(x)=\ln x-x+1$，于是根据对数函数的基本放缩，$f(x)$ 的最大值为 $f(1)=0$．

2、此时 $f(x)=a\ln x-(x-1)\mathrm e^x$，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)= \dfrac{a-\mathrm e^x x^2}{x}.$$ ① 由于当 $x>0$ 时，$y=\mathrm e^xx^2$ 单调递增，且值域为 $(0,+\infty)$，因此函数 $f(x)$ 存在唯一的极值点 $\beta$； ② 根据题意，有 $$\begin{cases} a-\mathrm e^\beta\cdot \beta^2=0,\\ a\ln\alpha-(\alpha-1)\mathrm e^\alpha=0,\end{cases}\implies a=\mathrm e^{\beta}\cdot \beta^2=\dfrac{(\alpha-1)\mathrm e^{\alpha}}{\ln\alpha},$$ 其中 $a>\mathrm e$，于是 $$\mathrm e^{\alpha-\beta}=\beta^2\cdot \dfrac{\ln \alpha}{\alpha-1},$$ 注意到当 $a\to \mathrm e$ 时，$\alpha,\beta\to 1$，于是尝试利用 $\ln \alpha<\alpha-1$ 放缩消去 $\alpha$，去证明 $$\ln\beta^2\cdot(2\beta+1)<3(\beta^2-1)\iff 2\ln \beta-\dfrac{3(\beta^2-1)}{2\beta+1},$$ 其中 $\beta>1$．根据对数函数的进阶放缩，有 $$2\ln \beta-\dfrac{3(\beta^2-1)}{2\beta+1}<2\cdot \dfrac 12\left(\beta-\dfrac1{\beta}\right)-\dfrac{3(\beta^2-1)}{2\beta+1}=-\dfrac{(\beta-1)^2(\beta+1)}{\beta(2\beta+1)}<0,$$ 命题得证．