每日一题[3256]成双入对

已知 $m>0$，函数 $f(x)=2 m \ln x-x+\dfrac{1}{x}$（$x>0$）．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性；

2、已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，证明： $$\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\left(1+\frac{1}{3^2}\right)\left(1+\frac{1}{4^2}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n^2}\right)<\mathrm{e}^{\frac{2}{3}};$$

3、若函数 $g(x)=m^2 \ln ^2 x-x-\dfrac{1}{x}+2$ 有 $3$ 个零点，求 $m$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{-x^2+2mx-1}{x^2},$$ 讨论分界点为 $m=1$．

当 $0<m\leqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减；

当 $m>1$ 时，设 $-x^2+2mx-1=0$ 的两个实数解分别为 $x_1,x_2$ 且 $0<x_1<x_2$，其中 $$x_1=m-\sqrt{m^2-1},\quad x_2=m+\sqrt{m^2-1},$$ 则函数 $f(x)$ 在 $\left(0,x_1\right)$ 上单调递减，在 $\left(x_1,x_2\right)$ 上单调递增，在 $\left(x_2,+\infty\right)$ 上单调递减．

2、只需要证明 $$\sum_{k=2}^n\ln\left(1+\dfrac1{k^2}\right)<\dfrac 23,$$ 而 $$LHS<\sum_{k=2}^n\dfrac 1{k^2}=\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{k-\frac 12}-\dfrac{1}{k+\frac 12}\right)=\dfrac1{2-\frac 12}=\dfrac 23,$$ 命题得证．

3、方程 $g(x)=0$ 即 $$m^2\ln^2x-\left(\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)^2=0\iff m\ln x-\sqrt x+\dfrac{1}{\sqrt x}=0~\text{或}~m\ln x+\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}=0,$$ 零点个数与 $$2m\ln x-x+\dfrac{1}{x}=0~\text{或}~2m\ln x+x-\dfrac{1}{x}=0$$ 也即 $$f(x)=0~\text{或}~f\left(\dfrac 1x\right)=0$$ 相同，因此若 $g(x)$ 有 $3$ 个零点，从小到大设为 $x_1,x_2,x_3$，则 $x_1x_3=1$ 且 $x_2=1$，因此问题转化为 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上零点个数为 $1$，由 $f(1)=0$ 结合第 $(1)$ 小题的结论，可得实数 $m$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$．