每日一题[3248]围追堵截

已知无穷正整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}=\dfrac{a_n+2023}{a_{n+1}+1}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），则 $a_1$ 的可能值有（       ）个

A．$2$

B．$4$

C．$6$

D．$9$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} a_{n+2}a_{n+1}+a_{n+2}-a_n=2023,\\ a_{n+3}a_{n+2}+a_{n+3}-a_{n+1}=2023, \end{cases}\implies (a_{n+2}-1)(a_{n+3}-a_{n+1})=a_{n+2}-a_{n},$$ 考虑 $b_n=|a_{n+2}-a_n|$，若 $\{b_n\}$ 中有不为 $0$ 的项，设第一个不为 $0$ 的项为 $b_m$，则此时 $$b_{m+1}=\dfrac{b_m}{a_{m+2}-1}<b_m,$$ 因此 $\{b_n\}$ 从第 $m$ 项起是单调递减的无穷项正整数数列，这不可能，因此 $\{b_n\}$ 为全 $0$ 数列．这样就有 $$a_1a_2=2023=7\cdot 17^2,$$ 从而 $a_1$ 的可能的值为 $2023$ 的所有正约数，个数为 $2\cdot 3=6$．