每日一题[3242]小心盖瓦

设 $n$ 为正整数，函数 $f_{n}(x)=\dfrac{n+x+\dfrac{1}{n+x}}{n+1}, x \in(0,1)$ 的值域为 $I_{n}$，$I=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n}$，则 $I=$ _______．

答案    $$\left(\dfrac{5}{6}, \dfrac{5}{4}\right)$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} I&=\bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n}\\ &=\bigcup_{n=1}^{\infty} \left(f_n(0),f_n(1)\right),\\ &=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n^2+1}{n^2+n},1+\dfrac{1}{(n+1)^2}\right),\\ &=\left(1,\dfrac 54\right)\cup\left(\dfrac 56,\dfrac{10}9\right)\\ &=\left(\dfrac 54,\dfrac 54\right), \end{split}$$ 其中用到了当 $n\geqslant 2$ 时，$\dfrac {n^2+1}{n^2+n}$ 单调递增，而 $1+\dfrac{1}{(n+1)^2}$ 单调递减，因此当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$\left(f_n(0),f_n(1)\right)\subsetneq \left(f_{n+1}(0),f_{n+1}(1)\right).$$