每日一题[3232]变量与参数

已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n>0$ 且 $a_1a_2a_3+2a_2^2+a_2+a_3-a_4=1$，则 $a_1$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[\dfrac{3-\sqrt 5}2,+\infty\right)$．

解析    根据题意，有 $a_1,a_2>$，且

$$a_2^3+2a_2^2+a_2+\dfrac{a_2^2}{a_1}-\dfrac{a_2^3}{a_1^2}-1=0,$$ 也即 $$\left(1-\dfrac{1}{a_1^2}\right)a_2^3+\left(2+\dfrac{1}{a_1}\right)a_2^2+a_2-1=0,$$ 设 $f(x)=(1-a^2)x^3+(2+a)x^2+x-1$，则 $a>0$，且 $f(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上有零点．注意到 $f(0)=-1$，因此当 $0<a\leqslant 1$ 时符合题意． 当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=-\big((3(a+1)x+1\big)\big((a-1)x-1\big),$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{a-1}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{a-1},+\infty\right)$ 上单调递减，因此题意即极大值 $$f\left(\dfrac{1}{a-1}\right)\geqslant 0\iff -\dfrac{a^2-3a+1}{(a-1)^2}\geqslant 0,$$ 解得 $1<a\leqslant\dfrac{3+\sqrt 5}2$． 综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{3+\sqrt 5}2\right]$，进而 $a_1$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{3-\sqrt 5}2,+\infty\right)$．