每日一题[3230]半角转化

已知 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$BC$ 边上的高为 $h$，且 $b+c=a+h$，$a=kh$．

1、求 $k$ 的取值范围．

2、求 $\tan \dfrac A2$（用 $k$ 表示），并求 $\sin A$ 的最小值．

解析

1、考虑以 $B,C$ 为焦点，长轴长为 $a+h$ 的椭圆，可得当 $A$ 点位于椭圆的上下顶点时 $b+c$ 最小，因此 $$b+c\geqslant 2\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+h^2}\iff a+h\geqslant \sqrt{a^2+4h^2}\iff k+1\geqslant \sqrt{k^2+4},$$ 解得 $k\geqslant \dfrac 32$，因此 $k$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 32,+\infty\right)$．

2、根据题意，有 $$\begin{split} \tan\dfrac A2&=\dfrac{\sin A}{1+\cos A}\\ &=\dfrac{\dfrac{ah}{bc}}{1+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\\ &=\dfrac{ah}{(b+c)^2-a^2}\\ &=\dfrac{ah}{(a+h)^2-a^2}\\ &=\dfrac{2k}{2k+1},\end{split}$$ 根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $\tan\dfrac A2$ 的最小值为 $\dfrac 34$，因此 $\sin A$ 的最小值为 $\dfrac{24}{25}$．