每日一题[3225]召唤神龙

某食品厂制作了 $4$ 种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了 $4$ 种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买该种食品 $6$ 袋，那么小明获奖的概率是_______．

答案    $\dfrac{195}{512}$．

解析    第一类获奖情况是 $AAABCD$，有 $\dbinom 63\cdot 4!$ 种；

第二类获奖情况是 $AABBCD$，有 $\dfrac1{2!}\cdot \dbinom 62\dbinom 42\cdot 4!$ 种．

因此所求概率为 $$\dfrac{\dbinom 63\cdot 4!+\dfrac1{2!}\cdot \dbinom 62\dbinom 42\cdot 4!}{4^6}=\dfrac{195}{512}.$$