将一些小于 10 的正整数填入如下 4×4 的方格中,使得每行和每列中的数的乘积都等于 10,共有_______种不同的填法.
答案 216.
解析 问题即将 4 个 2 和 4 个 5 填入 4×4 的表格中,使得每行每列均包含一个 2 和一个 5,其他位置都填 1. 将问题一般化,设需要填写的表格是 n×n 的,对应的填法有 an 种,则 a1=0,a2=2.对于 n 的情形,先填 2,有 n! 种方法,然后在第一行中填入 5,有 n−1 种方法,考虑与这个 5 同行以及同列的 2 对应的列和行的交叉位置 P,如果 P 填入 5,则剩下的图形有 an−2(n−2)! 种填法(去掉两行两列);如果不填 5,则剩下的图形有 an−1(n−1)! 种填法(去掉一行一列,P 填入 2),从而有an=n!⋅(n−1)⋅(an−2(n−2)!+an−1(n−1)!).
计算可得n12345an02122165280 从而所求填法数为 216.
备注 递推过程与欧拉错排问题相似,第 1,2,⋯,n 行中 2,5 的位置(列号)分别为两个 1,2,⋯,n 的排列,且这两个排列互为错排,因此所求填法数即 n 的错排数的 n! 倍.