每日一题[3215]完美长方体

若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”．“完美长方体”的体积的最大值为_______．

答案    $120$．

解析    设完美长方体的长、宽、高分别为 $a,b,c$，且 $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 1$，则 $$4a<abc=4(a+b+c)\leqslant 12 a\implies 4<bc\leqslant 12,$$ 因此 $$(b,c)=(5,1),(6,1),(7,1),(8,1),(9,1),(10,1),(11,1),(3,2),(4,2),(5,2),(3,3),$$ 而 $$a=\dfrac{4(b+c)}{bc-4},$$ 验算可得所有可能的 $$(a,b,c)=(24,5,1),(14,6,1),(9,8,1),(10,3,2),(6,4,2),$$ 因此所求体积的最大值为 $24\cdot 5\cdot 1=120$．