设 x0>0,x0≠√3,Q(x0,0),P(0,4),直线 PQ 与双曲线 x2−y23=1 相交于 A,B 两点.若 →PQ=t→QA=(2−t)→QB,则 x0=______.
答案 √22.
解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则→PQ=t→QA=(2−t)→QB⟺−4=ty1=(2−t)y2,
因此−4y1+−4y2=2⟺1y1+1y2=−12,
设 PQ: xx0+y4=1,与双曲线方程联立,可得x20(1−y4)2−13y2−1=0⟺(x2016−13)y2−12x20y+x20−1=0,
从而12x20x20−1=−12⟺x0=√22.