每日一题[3213]数形结合

已知 x,y,z 都是正数,且 (x+yz)(y+zx)(z+xy)>0,

求证:x(y+z)2+y(z+x)2+z(x+y)2(x3+y3+z3)9xyz.

解析    欲证不等式即cycx(y+z)2x3xyz9cycy2+z2x2+2yzyz9cycy2+z2x22yz32,

不妨设 xyz,则根据条件,x,y,z 可以看作某个三角形的三边长,因此只需要证明任何三角形的内角的余弦和不超过 32. 事实上,对任意 ABC,有cosA+cosB+cosC=cosA+2cosB+C2cosBC2cosA+2cosB+C2=(12sin2A2)+2sinA2=322(sinA212)232,
等号当 A=B=C=π3 时取得,因此欲证命题得证.

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