每日一题[3213]数形结合

已知 $x,y,z$ 都是正数，且

$$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0,$$ 求证： $$x(y+z)^2+y(z+x)^2+z(x+y)^2-\left(x^3+y^3+z^3\right) \leqslant 9 x y z.$$

解析    欲证不等式即

$$\sum_{\rm cyc}\dfrac{x(y+z)^2-x^3}{xyz}\leqslant 9\iff \sum_{\rm cyc}\dfrac{y^2+z^2-x^2+2yz}{yz}\leqslant 9\iff \sum_{\rm cyc}\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz}\leqslant \dfrac 32,$$ 不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，则根据条件，$x,y,z$ 可以看作某个三角形的三边长，因此只需要证明任何三角形的内角的余弦和不超过 $\dfrac 32$． 事实上，对任意 $\triangle ABC$，有 $$\begin{split} \cos A+\cos B+\cos C &=\cos A+2\cos\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2\\ &\leqslant \cos A+2\cos\dfrac{B+C}2\\ &=\left(1-2\sin^2\dfrac A2\right)+2\sin \dfrac A2\\ &=\dfrac 32-2\left(\sin\dfrac A2-\dfrac 12\right)^2\\ &\leqslant \dfrac 32,\end{split}$$ 等号当 $A=B=C=\dfrac{\pi}3$ 时取得，因此欲证命题得证．