已知 x,y,z 都是正数,且 (x+y−z)(y+z−x)(z+x−y)>0, 求证:x(y+z)2+y(z+x)2+z(x+y)2−(x3+y3+z3)⩽9xyz.
解析 欲证不等式即∑cycx(y+z)2−x3xyz⩽9⟺∑cycy2+z2−x2+2yzyz⩽9⟺∑cycy2+z2−x22yz⩽32,不妨设 x⩾y⩾z,则根据条件,x,y,z 可以看作某个三角形的三边长,因此只需要证明任何三角形的内角的余弦和不超过 32. 事实上,对任意 △ABC,有cosA+cosB+cosC=cosA+2cosB+C2cosB−C2⩽cosA+2cosB+C2=(1−2sin2A2)+2sinA2=32−2(sinA2−12)2⩽32,等号当 A=B=C=π3 时取得,因此欲证命题得证.