每日一题[3205]汇聚一堂

已知半径为 $1$ 的圆上有 $2022$ 个点，求证：至少存在一个凸 $337$ 边形，它的面积小于 $0.1$．（$\pi \approx 3.142$，$\sqrt{3} \approx 1.732$）

解析    将圆周六等分，分点分别为 $A,B,C,D,E,F$，则考虑这六段弧（按逆时针方向，每段弧包含起点但不包含终点），则由于 $\dfrac{2022}{6}=337$，因此至少存在一段弧，其上有 $337$ 个点，不妨设为弧 $AB$． 考虑弧 $AB$ 上的 $337$ 个点形成凸包，为凸 $337$ 边形，它的面积 $S$ 小于弦 $AB$ 与弧 $AB$ 形成的弓形面积，即

$$S<\dfrac 12\left(\dfrac{\pi}3-\sin\dfrac{\pi}3\right)\cdot 1^2=\dfrac{\pi}6-\dfrac{\sqrt 3}4<\dfrac{3.141}4-\dfrac{1.733}4=0.09025<0.1,$$ 命题得证．