每日一题[3202]相关直线定义

如图，$M,N$ 分别是 ${\rm Rt}\triangle A B C$ 两直角边对应射线 $AB,AC$ 上的动点（不包含端点 $A$），$P$ 是线段 $M N$ 的中点，则以下结论正确的是（       ）

A．当 $\triangle A M N$ 的面积为定值时，点 $P$ 的轨迹为双曲线的一支

B．当 $|M N|$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为一圆弧

C．当 $|A M|+|A N|$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为空端点线段

D．当 $\triangle A M N$ 的周长为定值时，点 $P$ 的轨迹为抛物线

答案    ABC．

解析    设 $M(0,2y)$，$N(2x,0)$，$P(x,y)$，其中 $x,y>0$．

对于选项 $\boxed{A}$，设 $\triangle AMN$ 的面积为定值 $2s$，有

$$[\triangle AMN]=\dfrac 12\cdot 2x\cdot 2y=2xy,$$ 因此点 $P$ 的轨迹为双曲线 $xy=s$ 的一支，选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，设 $|MN|$ 为定值 $2l$，有

$$|MN|=\sqrt{(2x)^2+(2y)^2}=2\sqrt{x^2+y^2},$$ 因此点 $P$ 的轨迹为圆弧 $x^2+y^2=l^2$（$x,y>0$），选项正确．

对于选项 $\boxed{C}$，设 $|AM|+|AN|$ 为定值 $2t$，有

$$|AM|+|AN|=2x+2y,$$ 以你次点 $P$ 的轨迹为空端点线段 $x+y=t$（$x,y>0$），选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，设 $\triangle AMN$ 的周长为定值 $2c$，有

$$2x+2y+2\sqrt{x^2+y^2}=2c,$$ 整理可得 $$y=\dfrac{2cx-c^2}{2x-2c},$$ 为双曲线的一支的一部分，选项错误．

综上所述，正确的结论为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．