2015年高考湖南卷理科数学第21题（压轴题）：
已知a>0，函数f(x)=eaxsinx（x∈[0,+∞)）．记xn为f(x)的从小到大的第n（n∈N∗）个极值点，证明：
（1）数列{f(xn)}是等比数列；
（2）若a⩾1√e2−1，则对一切n∈N∗，xn<|f(xn)|恒成立．
（1）证明 根据题意，有f′(x)=eax(asinx+cosx),
于是asinxn+cosxn=0,
解得xn=nπ−arctan1a,n∈N∗.
记φ=arctan1a，则f(xn)=ea(nπ−φ)sin(nπ−φ)=−(−eaπ)n⋅1√1+a2⋅e−aφ,
因此数列{f(xn)}是公比为−eaπ的等比数列．
（2）证明 用分析法，根据题意xn<|f(xn)|⇔nπ−φ<|ea(nπ−φ)sin(nπ−φ)|⇔nπ−φ<ea(nπ−φ)1√1+a2⇔√1+a2⋅(nπ−φ)<ea(nπ−φ),
令t=a(nπ−φ)，则只需要证明√1+1a2⋅t<et.
事实上，很容易证明当t>0时，不等式et>et
成立，而由已知条件又有√1+1a2<e,
因此原命题得证．
注 g(x)=f(x)⋅sinx类型的函数是一类重要的函数．一方面有−|f(x)|⩽g(x)⩽|f(x)|,
于是函数y=g(x)的图象夹在y=f(x)与y=−f(x)的图象之间．另一方面，注意到g′(x)=f(x)⋅cosx+f′(x)⋅sinx,
于是g(x)的图象与曲线y=±f(x)相切于x=kπ+π2,k∈N∗.
