每日一题[3199]弧与弦

比较 $\dfrac{\pi}6$ 与 $\sqrt{2-\sqrt 3}$ 的大小（按从小到大排列）：_______．

答案    $\dfrac{\pi}6>\sqrt{2-\sqrt 3}$．

解析    注意到

$$\sqrt{2-\sqrt 3}=\sqrt{1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos\dfrac{\pi}6},$$ 因此 $\dfrac{\pi}6$ 与 $\sqrt{2-\sqrt 3}$ 分别是圆心角为 $\dfrac{\pi}6$、半径为 $1$ 的扇形的弧长与对应弦长，从而有 $\dfrac{\pi}6>\sqrt{2-\sqrt 3}$．