对任意正实数 a,b,c,及任意正实数 r>1,求证: ab+c+bc+a+ca+b⩽arbr+cr+brcr+ar+crar+br.
解析 不妨设 a⩾b⩾c,且 b=1,则欲证不等式即a1+c+1c+a+ca+1⩽ar1+cr+1cr+ar+c2ar+1,
设 fa(x)=a1+x+1x+a+xa+1,则其导函数f′a(x)=1a+1−1(a+x)2−a(1+x)2,
该函数在 x>0 时单调递增,且f′a(1)=1a+1−1(a+1)2−14a=a(3+a)(1−a)4(1+a)2,
因此当 a⩾1 时,fa(x) 在 (0,1] 上单调递减;当 a⩽1 时,fa(x) 在 [1,+∞) 上单调递增.这样,由 ar⩾a⩾1⩾c⩾cr 可得LHS=fa(c)⩽fa(cr)=fcr(a)⩽fcr(ar)=RHS,
命题得证.