每日一题[3192]不妨设

对任意正实数 a,b,c,及任意正实数 r>1,求证: ab+c+bc+a+ca+barbr+cr+brcr+ar+crar+br.

解析    不妨设 abc,且 b=1,则欲证不等式即a1+c+1c+a+ca+1ar1+cr+1cr+ar+c2ar+1,

fa(x)=a1+x+1x+a+xa+1,则其导函数fa(x)=1a+11(a+x)2a(1+x)2,
该函数在 x>0 时单调递增,且fa(1)=1a+11(a+1)214a=a(3+a)(1a)4(1+a)2,
因此当 a1 时,fa(x)(0,1] 上单调递减;当 a1 时,fa(x)[1,+) 上单调递增.这样,由 ara1ccr 可得LHS=fa(c)fa(cr)=fcr(a)fcr(ar)=RHS,
命题得证.

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