对任意正实数 $a,b,c$，及任意正实数 $r>1$，求证： $$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \leqslant \frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r} . $$
解析 不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，且 $b=1$，则欲证不等式即\[ \dfrac a{1+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{c}{a+1}\leqslant \dfrac{a^r}{1+c^r}+\dfrac{1}{c^r+a^r}+\dfrac{c^2}{a^r+1},\]设 $f_a(x)=\dfrac{a}{1+x}+\dfrac{1}{x+a}+\dfrac x{a+1}$，则其导函数\[f_a'(x)=\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{(a+x)^2}-\dfrac a{(1+x)^2},\]该函数在 $x>0$ 时单调递增，且\[f_a'(1)=\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{(a+1)^2}-\dfrac 14a=\dfrac{a(3+a)(1-a)}{4(1+a)^2},\]因此当 $a\geqslant 1$ 时，$f_a(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减；当 $a\leqslant 1$ 时，$f_a(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增．这样，由 $a^r\geqslant a\geqslant 1\geqslant c\geqslant c^r$ 可得\[LHS=f_a(c)\leqslant f_a(c^r)=f_{c^r}(a)\leqslant f_{c^r}(a^r)=RHS,\]命题得证．