每日一题[3186]梦想成真

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{2 k+1}=\dfrac{a_{2 k}^2}{a_{2 k-1}}$，且 $a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}$（$k \in \mathbb{N}^{+}$），则 $a_{2022}$ 的末两位数字是_______．

答案    $32$．

解析    根据题意，有 $a_3=4$，$a_4=6$，$a_5=9$，$a_6=12$，$\cdots$，猜测有 $$a_{2n-1}=n^2,\quad a_{2n}=n(n+1),$$ 经检验，符合题意．因此 $$a_{2022}=1011\cdot 1012\equiv 11\cdot 12=132\equiv 32\pmod{100}.$$