每日一题[3185]几何计数

至少通过一个正方体的 $3$ 条棱中点的平面个数为_______．

答案    $81$．

解析    正方体共有 $12$ 条棱，即有 $12$ 个中点，这些中点任意 $3$ 个不共线，因此有 $\dbinom {12}3=220$ 个三点组．这些三点组确定的平面可能有重复，共有 $3$ 种可能：

① 正方体的某个面的 $4$ 个顶点，共有 $6$ 个；

② 正方体的中截面，共有 $3$ 个；

③ 正方体的对角截面，共有 $12$ 个；

④ 正方体的正六边形截面，共有 $4$ 个． 因此被重复计数的平面的个数为 $$(6+3+12)\cdot \left(\dbinom 43-1\right)+4\cdot \left(\dbinom 63-1\right)=139.$$

综上所述，所求平面个数为 $220-139=81$．